Question

已知函数f（x）=|log₃x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m，n²]上的最大值为2，则m+n=（　　）

• A、

  82

  9

• B、

  28

  9

• C、

  28

  3

• D、

  10

  3

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：先结合函数f（x）=|log₃x|的图象和性质，再由f（m）=f（n），得到m，n的倒数关系，再由“若f（x）在区间[m，n²]上的最大值为2”，求得m、n的值，从而求得m+n的值．

解答： 解：∵f（x）=|log₃x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），∴-log₃m=log₃n，∴mn=1．
∵f（x）在区间[m，n²]上的最大值为2，函数f（x）在[m，1）上是减函数，在（1，n²]上是增函数，
∴-log₃m=2，或log₃n²=2．
若-log₃m=2，则m=3^-2=

1

9

，故n=9，n²=81，故f（x）在区间[m，n²]上的最大值为log₃81=4，不满足条件．
若log₃n²=2，则n=3，m=

1

3

，由于|log₃m|=1＜2，故满足f（x）在区间[m，n²]上的最大值为2，
综合可得 m=

1

3

，n=3，故n+m=

10

3

，
故选：D．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，特别是取绝对值后考查的特别多，解决的方法多数用数形结合法，属于中档题．