Question

已知斜率为-

2

2

的直线与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）交于两点，若这两点在x轴的射影恰好是椭圆的焦点，则e为（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  1

  2

• C、

  3

  3

• D、

  2

  2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘2a²b²，求得关于

c

a

的方程求得e．

解答： 解：由题意知，两个交点横坐标是-c，c，所以两个交点分别为（-c，

2

2

c），（c，-

2

2

c），
代入椭圆

c2

a2

+

c2

2b2

=1
两边乘2a²b²，则c²（2b²+a²）=2a²b²
∵b²=a²-c²
c²（3a²-2c²）=2a⁴-2a²c²
2a⁴-5a²c²+2c⁴=0
（2a²-c²）（a²-2c²）=0
∴

c2

a2

=2，或

1

2

∵0＜e＜1
∴e=

c

a

=

2

2

故选：D．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了椭圆方程中a，b和c的关系．