Question

△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则

AD

•

BC

的取值范围是（　　）

• A、[1，2]
• B、[0，1]
• C、[0，2]
• D、[-5，2]

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由于D是边BC上的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设

AD

=λ

AB

+(1-λ)

AC

（0≤λ≤1）．由∠BAC=120°，AB=2，AC=1，可得

AB

•

AC

=2×1×cos120°=-1．代入利用数量积运算性质即可得出

AD

•

BC

=-7λ+2．
再利用一次函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可设

AD

=λ

AB

+(1-λ)

AC

（0≤λ≤1）．
∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴

AB

•

AC

=2×1×cos120°=-1．
∴

AD

•

BC

=[λ

AB

+(1-λ)

AC

]•(

AC

-

AB

)
=(2λ-1)

AB

•

AC

-λ

AB

2+(1-λ)

AC

2
=-（2λ-1）-4λ+1-λ
=-7λ+2．
∵0≤λ≤1，
∴（-7λ+2）∈[-5，2]．
∴

AD

•

BC

的取值范围是[-5，2]．
故选：D．

点评：本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、一次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．