Question

已知过定点M（1，-1）的直线与抛物线y²=2x交于A，B两点，且OA⊥OB，O为坐标原点，则该直线的方程为（　　）

• A、y=-x
• B、y=2x-3
• C、y=3x-4
• D、y=x-2

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线AB的方程为：x-1=m（y+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．

解答： 解：设直线AB的方程为：x-1=m（y+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y2=2x x-1=m(y+1)

，化为y²-2my-2m-2=0．
△＞0，即4m²-4（-2m-2）＞0，化为m²+2m+2＞0（*）．
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2m-2．
∴x₁x₂=（my₁+m+1）（my₂+m+1）=m²y₁y₂+m（m+1）（y₁+y₂）+（m+1）²
=（-2m-2）m²+2m×m（m+1）+（m+1）²=m²+2m+1．
∵OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴m²+2m+1-2m-2=0．
化为m²=1，
解得m=±1．满足（*）
但是当m=-1直线方程为x+y=0时，与抛物线的有关交点为原点，不满足OA⊥OB，应该舍去．
∴该直线的方程为x-1=y+1，化为y=x-2．
故选：D．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．