Question

已知g_n（x）+1=

n

k=1

xn

k2

（x∈R，n∈N^*），则下列说法正确的是（　　）
①g_n（x）关于点（0，-1）成中心对称．
②g_n（x）在（0，+∞）单调递增．
③当n取遍N^*中所有数时不可能存在c∈[

2

3

，1]使得g_n（c）=0．

• A、①②③
• B、②③
• C、①③
• D、②

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：①由g_n（-x）+g_n（x）+2=

x2

2

+

x4

4

+…≠0，可得g_n（x）关于点（0，-1）不成中心对称．
②由于x∈（0，+∞），可得

g

′ n

(x)=1+

x

2

+

x2

3

+…+

xn-1

n

＞0，即可得出g_n（x）在（0，+∞）单调性．
③当n=1，g₁（x）+1=x，假设存在c∈[

2

3

，1]使得g₁（c）=c-1=0，解得c=1．当n=2，g₂（x）+1=x+

x2

4

，假设存在c∈[

2

3

，1]使得g₂（c）=x+

x2

4

-1=0，解得c=-2±2

2

≠1．即可判断出．

解答： 解：①∵g_n（-x）+g_n（x）+2=

x2

2

+

x4

4

+…≠0，∴g_n（x）关于点（0，-1）不成中心对称．
②∵x∈（0，+∞），∴

g

′ n

(x)=1+

x

2

+

x2

3

+…+

xn-1

n

＞0，∴g_n（x）在（0，+∞）单调递增．
③当n=1，g₁（x）+1=x，假设存在c∈[

2

3

，1]使得g₁（c）+1=c，g₁（c）=c-1=0，解得c=1．
当n=2，g₂（x）+1=x+

x2

4

，假设存在c∈[

2

3

，1]使得g₂（c）=x+

x2

4

-1=0，解得c=-2±2

2

≠1．
因此当n取遍N^*中所有数时不可能存在c∈[

2

3

，1]使得g_n（c）=0．
综上可知：只有②正确．
故选：D．

点评：本题考查了函数的对称性、单调性、函数的零点，考查了导数的应用，考查了推理能力和计算能力，属于难题．