Question

已知函数f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx+5．
（Ⅰ）若a=-1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）a=-1，f′(x)=2x-

2

x

=

2x2-2

x

，x＞0，由此利用导数性质能求f（x）的极值．
（Ⅱ）函数f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx，其定义域为x＞0，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出函数f（x）的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）a=-1，f（x）=x²-2lnx+5，
f′(x)=2x-

2

x

=

2x2-2

x

，x＞0，
由f′（x）=0，得x=1，或x=-1（舍），
当x∈（0，1）时，f′（x）0，
∴f（x）_极小值=f（1）=1+5=6．无极大值．
（Ⅱ）∵函数f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx，其定义域为x＞0
当a=0时，f（x）=x²-2x
∴x＜1时，f（x）单调减；x≥1时，f（x）单调增；
当a≠0时，令f′（x）=2x-2（a+1）+

2a

x

=0，得x₁=1，x₂=a
f''（x）=2-

2a

x2

，f''（1）=2-2a；f''（a）=2-

2

a

，
2-2a＞0，a＜1，2-

2

a

a＞1，
当a=1时，f′（x）≥0，在定义域内f（x）单调增；
当a＞1时，f''（1）＜0；f''（a）＞0，f（x）在x₁处取极大值；在x₂处取极小值；
∴x∈（0，1）时，f（x）单调增；x∈[1，a）时，f（x）单调减；
x∈[a，+∞）时，f（x）单调增；
当0＜a＜1时，f''（1）＞0；f''（a）＜0，f（x）在x₁处取极小值；在x₂处取极大值；
∴x∈（0，a）时，f（x）单调增；
x∈[a，1）时，f（x）单调减；x∈[1，+∞）时，f（x）单调增；
当a＜0时，f''（1）＞0；f''（a）＜0，f（x）在x₁处取极小值；x₂不在定义域内；
∴x∈（0，1）时，f（x）单调减；x∈[1，+∞）时，f（x）单调增．
综上：当a＜=0时，x∈（0，1）时，f（x）单调减；x∈[1，+∞）时，f（x）单调增；
当0＜a＜1时，x∈（0，a）时，f（x）单调增；
x∈[a，1）时，f（x）单调减；x∈[1，+∞）时，f（x）单调增；
当a=1时，f’（x）＞=0，在定义域内f（x）单调增；
当a＞1时，x∈（0，1）时，f（x）单调增；
x∈[1，a）时，f（x）单调减；x∈[a，+∞）时，f（x）单调增．

点评：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．