Question

已知函数f（x）=x²+ax+b，若a∈（0，

1

2

），对于任意的x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1，求b的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得函数f（x）=(x+

a

2

)2+b-

a2

4

，-

a

2

∈（-

1

4

，0），|f（1）|≤1①且|f（-

a

2

）|≤1②．分别由①、②求得b的范围，再取交集，即得所求．

解答： 解：∵函数f（x）=x²+ax+b=(x+

a

2

)2+b-

a2

4

，若a∈（0，

1

2

），则-

a

2

∈（-

1

4

，0）．
∵对于任意的x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1，∴|f（1）|≤1①，且|f（-

a

2

）|≤1②．
由①可得|1+a+b|≤1，即-1≤1+a+b≤1，即-2-a≤b≤-a．再根据a∈（0，

1

2

），可得-

5

2

＜b＜-

1

2

．
由②可得|b-

a2

4

|≤1，即-1≤b-

a2

4

≤1，即-1-

a2

4

≤b≤1+

a2

4

．再根据a∈（0，

1

2

），可得-

17

16

＜b＜

17

16

．
综合可得，b的取值范围-

17

16

＜b＜-

1

2

，即b的取值范围为（-

17

16

，-

1

2

）．

点评：本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．