Question

如图1所示，在边长为12的正方形ADD₁A₁中，点B，C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁D₁，AD₁于点B₁，P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁D₁，AD₁于点C₁，Q，将该正方形沿BB₁，CC₁折叠，使得DD₁与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）若点E为四边形BCQP内一动点，且二面角E-AP-Q的余弦值为

3

3

，求|BE|的最小值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）在正方形ADD₁A₁中，由已和知得三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三角形ABC的边AC=5．AB⊥BC．由此能证明⊥平面BCC₁B₁．
（2）以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，利用向量法能求出|BE|的最小值为点B，到线段：m+2n-6=0 的距离

6 5

5

．

解答： 解：（1）在正方形ADD₁A₁中，∵CD=AD-AB-BC=5，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三角形ABC的边AC=5．
∵AB=3，BC=4，∴AB²+BC²=AC²，
∴AB⊥BC．
∵四边形ADD₁A₁为正方形，AA₁∥BB₁，
∴AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，
∴AB⊥平面BCC₁B₁．（4分）
（2）∵AB，BC，BB₁两两互相垂直．
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，
则A（0，0，3），B（0，0，0），C（4，0，0），P（0，3，0），Q（4，7，0），
∴

AP

=(0，3，-3)，

AQ

=(4，7，-3)，
设平面PQA的一个法向量为

n

=（x，y，z）．
则由

n • AP =3y-3z=0 n • AQ =4x+7y-3z=0

，
令x=-1，得y=z=1．所以

n

=(-1，1，1)．
设点E（m，n，0），则

AE

=(m，n，3)，

PE

=(m，n-3，0)，设平面EAP的法向量

m

=（x，y，z），
由

mx+(n-3)y=0 mx+ny-3z=0

，得

m

=（3-n，m，m），
∵二面角E-AP-Q的余弦值为

3

3

，
∴cos＜

m

，

n

＞=

n-3+2m

3 • (3-n)2+2m2

=

3

3

，
得：m+2n-6=0
∴|BE|的最小值为点B，到线段：m+2n-6=0 的距离

6 5

5

．（13分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查线段的最小值的求法，考查点到线段的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．