Question

已知函数f（x）=x^k+b（常数k，b∈R）的图象过点（4，2）、（16，4）两点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）问：是否存在边长为4正三角形△PQ₁Q₂，使点P在函数f（x）图象上，Q₁、Q₂从左至右是x正半轴上的两点？若存在，求直线PQ₂的方程，若不存在，说明理由；
（3）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，且不等式g（x）+g（x-2）＞2ax+2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）解方程组

4k+b=2 16k+b=4

，解出即可，
（2）求出点P的坐标为P（12，2

3

），点Q₁的横坐标为x_Q=10，即Q（10，0），求出K_PQ=

2 3

12-10

=

3

，得出直线PQ₁的倾斜角为

π

3

，从而解决问题，
（3）由题意知：g（x）为f（x）的反函数，求出a＜

2x2-4x+2

2x

当x≥2恒成立，又

2x2-4x+2

2x

=x+

1

x

-2在x∈[2，+∞）单调递增，得出(

2x2-4x+2

2x

)min，解出即可．

解答： 解：（1）把

x=4 y=2

和

x=16 y=4

分别代入f（x）=x^k+b可得：

4k+b=2 16k+b=4

，
化简此方程组可得：16^k-4^k-2=0即（4^k-2）（4^k+1）=0
可得4^k=2，
∴k=

1

2

，
代入原方程组可得：b=0
∴f（x）=

x

，
（2）由△PQ₁Q₂边长为4可知：此三角形的高即点P的纵坐标为2

3

，
∴点P的坐标为P（12，2

3

），
∴点Q₁的横坐标为x_Q=10，即Q（10，0），
∵K_PQ=

2 3

12-10

=

3

，
∴直线PQ₁的倾斜角为

π

3

，
∴这样的正三角形存在，且点Q₂（14，0），
直线PQ₂方程为y=-

3

（x-14）即

3

x+y-14

3

=0，
（3）由题意知：g（x）为f（x）的反函数，
∴g（x）=x²（x≥0），
∵g（x）+g（x-2）＞2ax+2即x²+（x-2）²＞2ax+2当x≥2恒成立，
∴2ax＜2x²-4x+2即a＜

2x2-4x+2

2x

当x≥2恒成立，
∴只需求函数y=

2x2-4x+2

2x

在x∈[2，+∞）上的最小值即可，
又∵

2x2-4x+2

2x

=x+

1

x

-2在x∈[2，+∞）单调递增，
∴(

2x2-4x+2

2x

)min=2+

1

2

-2=

1

2

，
∴a＜

1

2

．

点评：本题考查了求函数的解析式问题，求直线方程问题，考查函数的恒成立问题，是一道综合题．