Question

在公务员招聘中，既有文化考试又有面试．我省一单位在2014年公务员考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100）得到的频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求a的值以及这100名考生的平均成绩；
（Ⅱ）若该单位决定在笔试成绩较高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试．
（i）已知考生甲和考生乙的成绩分别在第三组与第四组，求考生甲和考试乙同时进入第二轮面试的概率；
（ii）单位决定在这6名考生中随机抽取3名学生接受单位领导的面试，设第4组中有ξ名考生接受领导的面试，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,众数、中位数、平均数

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由频率分布直方图能求出a的值以及这100名考生的平均成绩．
（Ⅱ）（i）第3、4、5组分别有考生30、20、10人，按分层抽样，各组抽取的人数为：3、2、1，抽取比例为

1

10

，由此能求出考生甲和考试乙同时进入第二轮面试的概率．
（ii）由题意知，ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由（0.01+0.07+a+0.04+0.02）×5=1，得a=0.06．…（3分）
令中位数为x，则0.1×5+0.07×5+（x-85）×0.06=0.5，
∴x=86.67．…（6分）
（Ⅱ）（i）第3、4、5组分别有考生30、20、10人，按分层抽样，各组抽取的
人数为：3、2、1，抽取比例为

1

10

，
于是第3组的考生甲进入第二轮面试的概率为

1

10

，
第4组的考生乙进入第二轮面试的概率为

1

10

，
∴考生甲和考试乙同时进入第二轮面试的概率p=

1

10

×

1

10

=

1

100

．…（8分）
（ii）由题意知，ξ=0，1，2，
P（ξ=0）=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

，
P（ξ=1）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，
P（ξ=2）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	1 5	3 5	1 5

Eξ=0×

1

5

+1×

3

5

+2×

1

5

=1．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望和分布列的求法，解题时要认真审题，是中档题．