Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，|AA₁|=|BC|=1，|AC|=

2

，点M是BB₁的中点，Q是AB的中点．
（1）若P是A₁C₁上的一动点，求证：PQ⊥CM；
（2）求二面角A-A₁B-C大小的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PQ⊥CM．
（2）求出平面AA₁B的法向量和平A₁BC的法向量，利用向量法能示出二面角A-A₁B-C的余弦值．

解答： （1）证明：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知设P（t，0，1），0＜t＜

2

，A（

2

，0，0），
B（0，1，0），Q（

2

2

，

1

2

，0），C（0，0，0），M（0，1，

1

2

），A1(

2

，0，1)，

PQ

=(

2

2

-t，

1

2

，-1)，

CM

=（0，1，

1

2

），
∵

PQ

•

CM

=0+

1

2

-

1

2

=0，
∴PQ⊥CM．
（2）解：

BA

=（

2

，-1，0），

BA1

=（

2

，-1，1），

CB

=（0，1，0），
设平面AA₁B的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • BA = 2 x-y=0 n • BA1 = 2 x-y+z=0

，
取x=

2

，得

n

=（

2

，2，0），
设平A₁BC的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • BA1 = 2 a-b+c=0 m • BC =b=0

，
取a=

2

，得m=（

2

，0，-2），
设二面角A-A₁B-C大小的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

2

6 • 6

|=

1

3

，
∴二面角A-A₁B-C的余弦值为

1

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．