Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=

k

2

x²+x+1．
（1）当k=1时，证明：f（x）≥g（x）-

x2

2

；
（2）若f（x）≥g（x），求k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数与方程的综合运用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）设h（x）=f（x）-g（x）+

x2

2

=e^x-x-1，求导数，确定x∈（0，+∞）时，h（x）单调递增，即可证明结论；
（2）求导数，设G（x）=e^x-kx-1，则G′（x）=e^x-k，分类讨论，确定函数的单调性，即可求k的取值范围．

解答： （1）证明：当k=1时，设h（x）=f（x）-g（x）+

x2

2

=e^x-x-1，h′（x）=e^x-1．…（1分）
当x∈（-∞，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．
所以h（x）≥h（0）=0．
故f（x）≥g（x）-

x2

2

．…（4分）
（2）解：设F（x）=f（x）-g（x）=e^x-

k

2

x²-x-1，则F′（x）=e^x-kx-1．
设G（x）=e^x-kx-1，则G′（x）=e^x-k．…（6分）
①若k≤0时，则G′（x）＞0，G（x）单调递增，
当x∈（-∞，0）时，G（x）＜G（0）=0，即F′（x）＜0，F（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，G（x）＞G（0）=0，即F′（x）＞0，F（x）单调递增．
故F（x）≥F（0）=0，此时f（x）≥g（x）．…（9分）
②若k＞0，则
当x∈（-∞，-

2

k

）时，e^x-1＜0，-

k

2

x²-x=-

1

2

x（kx+2）＜0，
从而F（x）=e^x-1-

k

2

x²-x＜0，这时f（x）≥g（x）不成立．…（11分）
综上，k的取值范围是（-∞，0]．…（12分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．