Question

过抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点M分别向C的准线和x轴作垂线，两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形，点M在第一象限．
（1）求抛物线C的方程及点M的坐标；
（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别与抛物线C交与A、B两点，如果点M在直线AB的上方，求△MAB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出M的坐标，代入抛物线方程，即可求得p的值，从而可求抛物线C的方程及点M的坐标；
（2）求出直线MA的斜率、直线MB的斜率，可得直线AB的斜率，可得直线AB的方程，与抛物线方程联立，可得△MAB的面积，利用导数知识，即可求△MAB面积的最大值．

解答： 解：（1）抛物线C的准线x=-

p

2

，依题意M（4-

p

2

，4），
则4²=2p（4-

p

2

），解得p=4．
故抛物线C的方程为y²=8x，点M的坐标为（2，4），…（3分）
（2）设A（

y 2 1

8

，y₁），B（

y 2 2

8

，y₂）．
直线MA的斜率k₁=

y1-4

y 2 1 8 -2

=

8

y1+4

，同理直线MB的斜率k₂=

8

y2+4

．
由题设有

8

y1+4

+

8

y2+4

=0，整理得y₁+y₂=-8．
直线AB的斜率k=

y1-y2

y 2 1 8 - y 2 2 8

=

8

y1+y2

=-1．…（6分）
设直线AB的方程为y=-x+b．
由点M在直线AB的上方得4＞-2+b，则b＜6．
由

y2=8x y=-x+b

得y²+8y-8b=0．
由△=64+32b＞0，得b＞-2．于是-2＜b＜6．…（9分）
|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=4

2b+4

，
于是|AB|=

2

|y₁-y₂|=8

b+2

．
点M到直线AB的距离d=

6-b

2

，则△MAB的面积
S=

1

2

|AB|•d=2

2(b+2)(6-b)2

．
设f（b）=（b+2）（6-b）²，则f′（b）=（6-b）（2-3b）．
当b∈（-2，

2

3

）时，f′（x）＞0；当b∈（

2

3

，6）时，f′（x）＜0．
当b=

2

3

时，f（b）最大，从而S取得最大值

128 3

9

．…（12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线方程，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．