Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点到其右准线的距离为1，到右顶点的距离为

2

-1，圆O：x²+y²=a²，P为圆O上任意一点．
（1）求a，b；
（2）过点P作PH⊥x轴，垂足为H，线段PH与椭圆交点为M，求

MH

PH

；
（3）过点P作椭圆E的一条切线l，直线m是经过点P且与切线l垂直的直线，试问：直线m是否经过一定点？如果是，请求出此定点坐标；如果不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意列关于a，c的方程组，求得a，c的值，结合b²=a²-c²得答案；
（2）设出P，M的坐标，代入椭圆方程得到P与M的纵坐标的关系，作比后得答案；
（3）当x₀≠±1且y₀≠0时，设出切线方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0得到切线斜率和切点坐标间的关系，代回切线方程得到切线经过定点（1，0）或（-1，0）；当x₀=±1时，直线m为x轴，经过定点（1，0）或（-1，0）；当y₀=0时直线m为x=1或x=-1，经过定点（1，0）或（-1，0）．

解答： 解：（1）由

a2 c -c=1 a-c= 2 -1

，
解得：a=

2

，c=1．
∴b=

a2-c2

=

( 2 )2-12

=1；
（2）设P（x₀，y₀），M（x₀，y₁），
则

x 2 0

2

+

y

2 1

=1，
∵

x

2 0

+

y

2 0

=2，
得

y

2 1

=1-

x 2 0

2

=1-

2- y 2 0

2

=

y 2 0

2

，
∴

MH

PH

=

y12 y02

=

2

2

；
（3）①当x₀≠±1且y₀≠0时，
设切线l：y-y₀=k（x-x₀），代入椭圆方程得x2+2[kx-(kx0-y0)]2=2，
整理得(1+2k2)x2-4k(kx0-y0)x+2(kx0-y0)2-2=0，
由△=0得，(kx0-y0)2-2k2-1=0，
即：(

x

2 0

-2)k2-2x0y0k+

y

2 0

-1=0，
又

x

2 0

+

y

2 0

=2，
故有

y

2 0

k2+2x0y0k+

x

2 0

=1，
∴k=

-x0±1

y0

，
当k=

x0+1

-y0

时，直线m：y-y0=

y0

x0+1

(x-x0)，得y=

y0

x0+1

(x-1)，过定点（1，0）；
当k=

x0-1

-y0

时，直线m：y-y0=

y0

x0-1

(x-x0)，得y=

y0

x0-1

(x+1)，过定点（-1，0）．
②当x₀=±1时，直线m为x轴，经过定点（1，0）或（-1，0）．
③当y₀=0时，直线m为x=1或x=-1，经过定点（1，0）或（-1，0）．
综上所述，直线m经过定点（1，0）或（-1，0）．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．