Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB、PD与平面ABCD所成的角依次是45°和arctan

1

2

，AP=2，E、F依次是PB、PC的中点．
（1）求直线EC与平面PAD所成的角（结果用反三角函数值表示）；
（2）求三棱锥P-AFD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面所成的角

专题：计算题,空间向量及应用

分析：以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，标点，空间向量，通过向量运算解答．

解答： 解：（1）分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，依题意，AD=4，AB=2，则各点坐标分别是
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2）；
∴E（1，0，1），F（1，2，1），

EC

=（1，4，-1），
又∵AB⊥平面PAD，
∴平面PAD的法向量为

n

=

AB

=（2，0，0），
设直线EC与平面PAD所成的角为α，则
sinα=

EC • n

. EC   . • . n   .

=

2

2• 18

=

2

6

，
∴直线EC与平面PAD所成的角为αrcsin

2

6

．
（2）由（1）得，

AF

=（1，2，1），

AD

=（0，4，0），
设平面AFD的法向量为

n

=（x，y，z），点P到平面AFD的距离为d，
由AD?平面AFD，

AD

•

n

=0得
x+2y+z=0且4y=0，取x=1得

n

=（1，0，-1），
∴d=

. AP • n   .

. n   .

=

2

2

=

2

，
又

.

AF

.

=

.

FD

.

=

6

，∴S_△AFD=2×

6-4

=2

2

，
∴VP-AFD=

1

3

×2

2

×

2

=

4

3

．

点评：本题考查了空间中角的求法，及体积的求法，属于难题．