Question

已知动圆与直线y=-3相切，并与定圆x²+y²=1相内切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）过原点作斜率为1的直线交曲线C于p₁（p₁为第一象限点），又过P₁作斜率为

1

2

的直线交曲线C于P₂，再过P₂作斜率为

1

4

的直线交曲线C于P₃…如此继续，一般地，过P_n作斜率为

1

2n

的直线交曲线C于P_n+1，设P_n（x_n，y_n）．
（i）令b_n=x_2n+1-x_2n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（ii）数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较

3

4

S_n+1与

1

3n+10

大小．

Answer 1

考点：数学归纳法,轨迹方程

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用抛物线的定义，可得动圆圆心P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）（i）把点P_n和P_n+1代入抛物线方程，进而可得x_n²=4（y_n+1），①x_n+1²=4（y_n+1+1）②，进而表示出直线的斜率代入后求得x_n+1+x_n=

1

2n-2

代入b_n=x_2n+1-x_2n-1，根据等比数列的定义推断出该数列为等比数列．
（ii）根据等比数列的求和公式求得S_n，进而可求得

3

4

S_n+1=

1

4n

，问题转化为比较4ⁿ与3n+10的大小，根据二项式定理，进而看n=1，2时也符合，最后综合原式得解．

解答： 解：（Ⅰ）∵动圆与直线y=-3相切，并与定圆x²+y²=1相内切，
∴P到原点的距离等于P到直线y=-2的距离，由抛物线定义可知，P的轨迹是以原点为焦点，直线y=-2为准线的抛物线，其轨迹方程为x²=4（y+1）；
（Ⅱ）（i）设P_n（x_n，y_n）、P_n+1（x_n+1，y_n+1）在抛物线上，故x_n²=4（y_n+1），①x_n+1²=4（y_n+1+1）②，又因为直线P_nP_n+1的斜率为

1

2n

，可得x_n+1+x_n=

1

2n-2

∴b_n=x_2n+1-x_2n-1=（x_2n+1+x_2n）-（x_2n+x_2n-1）=

1

22n-2

-

1

22n-3

=-

1

22n-2

，
故数列{b_n}是以-1为首项，以

1

4

为公比的等比数列；
（ii）b_n=-

1

22n-2

，∴S_n=-

4

3

（1-

1

4n

），
∴

3

4

S_n+1=

1

4n

，
故只要比较4ⁿ与3n+10的大小．
4ⁿ=（1+3）ⁿ=1+

C

1 n

•3+

C

2 n

•3²+…+

C

n n

•3n＞1+3n+

n(n-1)

2

•9＞1+3n+9=3n+10（n≥3），
当n=1时，

3

4

S_n+1＞

1

3n+10

；
当n=2时，

3

4

S_n+1=

1

3n+10

；
当n≥3，n∈N^*时，

3

4

S_n+1＜

1

3n+10

．

点评：本题主要考查了等比关系的确定，不等式的应用，二项式定理，考查了学生综合分析问题的能力．