Question

若曲线F（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线F（x，y）=0的“自公切线”．下列方程：①x²-y²=1；②y=x²-2|x|；③y=sinx+cosx；④|x|+1=

2-y2

对应的曲线中不存在“自公切线”的有

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,圆的切线方程

专题：计算题,新定义,导数的概念及应用

分析：①x²-y²=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②在x=

1

2

和 x=-

1

2

 处的切线都是y=-

1

4

，故②有自公切线．
③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．
④结合图象可得，此曲线没有自公切线．

解答： 解：①x²-y²=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②y=x²-|x|=

(x- 1 2 )2- 1 4 ，x≥0 (x+ 1 2 )2- 1 4 ，x＜0

，在 x=

1

2

 和 x=-

1

2

 处的切线都是y=-

1

4

，故②有自公切线．
③y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．
④|x|+1=

2-y2

即 x²+2|x|+y²-1=0，
结合图象可得，此曲线没有自公切线．
故答案为：①④．

点评：正确理解新定义“自公切线”，正确画出函数的图象、数形结合的思想方法是解题的关键．