Question

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（0，1），离心率为

3

2

．直线l与椭圆C交于P、Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围；
（Ⅲ）设点P关于x轴的对称点为P′（P′与Q不重合），当直线l过点（1，0）时，判断直线P′Q是否与x轴交于一定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（0，1），离心率为

3

2

，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合等比数列的性质，可得k2=

1

4

，求出点O到直线l的距离，|PQ|，即可求△OPQ面积的取值范围；
（Ⅲ）求出直线P'Q的方程，令y=0，可得-

4k

m

=4，即可得出定点的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，知

b=1 c a = 3 2 a2=b2+c2

解得a=2，b=1．
所以，椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率k存在且不为0．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0，m≠±1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

消去y，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
所以，△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，①
且x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

．
因为直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，
所以，

y1

x1

•

y2

x2

=

(kx1+m)(kx2+m)

x1x2

=

k2x1x2+km(x1+x2)+m2

x1x2

=k2．
化简，得k2=

1

4

．代入①，解得0＜m²＜2．
因为点O到直线l的距离d=

|m|

1+k2

，且|PQ|=

1+k2

|x1-x2|，
所以S△OPQ=

1

2

|PQ|•d=

1

2

|m|•

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2(2-m2)

．
因为0＜m²＜2且m²≠1，所以0＜m²（2-m²）=-（m²-1）²+1＜1．
所以△OPQ面积的取值范围为（0，1）．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当直线l过点（1，0）时，k+m=0．
由题意知P'（x₁，-y₁），直线P'Q的方程为y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)．
令y=0，得x=

y1x2+y2x1

y2+y1

=

(kx1+m)x2+(kx2+m)x1

(kx1+m)+(kx2+m)

=

2kx1x2+m(x1+x2)

k(x1+x2)+2m

=-

4k

m

．
由k+m=0，得-

4k

m

=4．
即直线P'Q与x轴交于一定点（4，0）．…（13分）

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．