Question

如图所示，连结棱长为2cm的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，注满为止．已知顶点B到水面的高度h以每秒1cm匀速上升，记该容器内水的体积V（cm³）与时间T（S）的函数关系是V（t），则函数V（t）的导函数y=V′（t）的图象大致是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的图象

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：求出函数的解析式，再求导，观察判断即可．

解答： 解：方法一，正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体，棱长为a=

1

2

22+22

=

2

，高为2，
设时间为t时，当t≤1时，此时水面的边长为b，

t

1

=

b

2

，则b=

2

t，则水面的面积为b²=2t²，该容器内水的体积V（t）=

1

3

×2t²×t=

2

3

t³，
当t＞1时，此时水面的边长为c，

2-t

1

=

c

2

，则c=

2

（2-t），则水面的面积为c²=2（2-t）²，
该容器内水的体积V（t）=

1

3

×（

2

）²×2-

1

3

×2×（2-t）²×（2-t）=

4

3

-

2

3

×（2-t）³，
∴y=V′（t）=2t²，（t≤1），y=V′（t）=2（2-t）²，（1＜t≤2），
方法二，由题意得：V（cm³）与时间T（S）的函数关系是V（t），y=tv（t）是关于t的3次函数，
则y=v′（t）是关于t的2次函数，
故选：D．

点评：本题主要考查了函数的图象的识别问题，关键是理解水的容积式关于的t的3次函数，属于中档题．