Question

已知函数f（x）=（bx+c）lnx在x=

1

e

处取得极值，且在x=1处的切线的斜率为1．
（1）求b，c的值及f（x）的单调减区间；
（2）求f（x）在x∈[

e

2

，2e]时的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′(x)=blnx+b+

c

x

，且

f′( 1 e )=-b+b+ce=0 f′(1)=b+c=1

，由此能求出b，c的值及f（x）的单调减区间．
（2）由（1）知f（x）在(0，

1

e

)单调递减，在x∈[

e

2

，2e]单调递增，由此能求出f（x）在x∈[

e

2

，2e]时的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=（bx+c）lnx，
∴f′(x)=blnx+b+

c

x

，（导数公式与运算法则）
∵在x=

1

e

处取得极值，且在x=1处的切线的斜率为1，
∴

f′( 1 e )=-b+b+ce=0 f′(1)=b+c=1

（函数极值的定义）
解得

b=1 c=0

，（3分）
则f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，
当f′（x）=lnx+1＜0，
有x∈(0，

1

e

)，（导数符号与单调性的关系）
故f（x）的单调减区间为(0，

1

e

)．（6分）
（2）由（1）知f（x）在(0，

1

e

)单调递减，
在(

1

e

，+∞)单调递增，故在x∈[

e

2

，2e]单调递增，
故f_max=f（2e）=2eln（2e），
fmin=f(

e

2

)=

e

2

ln(

e

2

)（最值与函数单调性的关系）（14分）

点评：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．