Question

当x∈[1，∞）时，下列不等式恒成立的是（　　）

• A、lnx≤1-

  1

  x

• B、lnx≤

  2(x-1)

  x+1

• C、lnx≤

  1

  2

  （x-

  1

  x

  ）
• D、lnx≥x-1

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：函数的性质及应用

分析：对于不等式不成立的利用特殊值法进行排除，对于成立的不等式，构造函数利用导数进行证明．

解答： 解：A．当x=e时，lnx≤1-

1

x

不成立．
B．若x=9，则

2(x-1)

x+1

=

2×8

10

=1.6，ln9＞2，此时B不成立．
C．设f（x）=lnx-

1

2

（x-

1

x

），则函数的导数为f′（x）=

1

x

-

1

2

-

1

2x2

=

-x2+2x-1

2x2

=

-(x-1)2

2x2

≤0，
∴函数f（x）单调递减，当x∈[1，∞）时，f（x）≤f（1）=0，
即lnx≤

1

2

（x-

1

x

）成立．
D．当x=e时，lne=1，e-1＞1，此时不等式lnx≥x-1不成立．
故选：C

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用导数或者特殊值法是解决本题的关键．