Question

如图，函数y=2sin（πx+φ），x∈R，（其中0≤φ≤

π

2

）的图象与y轴交于点（0，1）．
（1）求φ的值；
（2）若x∈[0，1]，求函数y=2sin（πx+φ）的最值，及取得最值时x的值；
（3）设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求

PM

与

PN

的夹角．的余弦值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）把点（0，1）代入解析式，根据φ的范围和特殊角的正弦值求出φ；
（2）由（1）得解析式，根据x的范围求出πx+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，根据正弦函数的性质求出函数的最大值、最小值及对应的x的值；
（3）根据解析式求出周期，再结合图象求出点M、P、N的坐标，再向量的坐标运算求出

PM

与

PN

的坐标，根据向量数量积的坐标运算，求出

PM

与

PN

的夹角的余弦值．

解答： 解：（1）∵函数的图象过点（0，1），∴2sinφ=1，即sinφ=

1

2

，
又∵0≤φ≤

π

2

，∴φ=

π

6

，
（2）由（1）得，y=2sin(πx+

π

6

)，
由x∈[0，1]得，πx+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
当πx+

π

6

=

π

2

时，即x=

1

3

时，函数取到最大值是2，
当πx+

π

6

=

7π

6

时，即x=1时，函数取到最小值是-1，
（3）设

PM

与

PN

的夹角为θ，
由题意知，函数y=2sin(πx+

π

6

)的周期是2，
则P（

1

3

，2），M（-

1

6

，0），N（

5

6

，0），
则

PM

=（-

1

2

，-2），

PN

=（

1

2

，-2），
∴cosθ=

PM • PN

| PM || PN |

=

- 1 4 +4

1 4 +4× 1 4 +4

=

15

17

．

点评：本题考查由图象确定符合三角函数的解析式，正弦函数的性质，以及向量的坐标运算，由数量积的坐标运算求出向量夹角爱哦的余弦值等，比较综合．