Question

已知

a

，

b

，

c

是同一平面内的三个向量，其中

a

=（2，2），

b

=（-3，4）．
（Ⅰ）若

c

=（8，1），且（

a

-2

b

）∥（k

a

+

c

），求实数k的值；
（Ⅱ）若|

c

|=2，且

a

与

c

的夹角为45°．求证：（

1

2

a

-

c

）⊥

a

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平行向量与共线向量,数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）先求出向量

a

-2

b

和k

a

+

c

的坐标，根据共线向量基本定理，存在实数λ，使k

a

+

c

=λ(

a

-2

b

)，带入坐标即可求出k；
（Ⅱ）根据向量

a

的坐标，求|

a

|，根据数量积的计算公式即可求出(

1

2

a

-

c

)•

a

=0，所以得出(

1

2

a

-

c

)⊥

a

．

解答： 解：（Ⅰ）

a

-2

b

=(8，-6)，k

a

+

c

=(2k+8，2k+1)；
∵(

a

-2

b

)∥(k

a

+

c

)，∴存在实数λ使：k

a

+

c

=λ(

a

-2

b

)；
∴

2k+8=8λ 2k+1=-6λ

，解得k=-2；
（Ⅱ）由已知条件知：(

1

2

a

-

c

)•

a

=

1

2

a

2-

c

•

a

=4-2×2

2

×

2

2

=0；
∴(

1

2

a

-

c

)⊥

a

．

点评：本题考查向量的坐标，共线向量基本定理，根据向量的坐标求向量长度，向量数量积的计算公式．