Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁是边长为2的菱形，∠A₁AC=60°．在面ABC中，AB=2

3

，BC=4，M为BC的中点，过A₁，B₁，M三点的平面交AC于点N．
（1）求证：N为AC中点；
（2）平面A₁B₁MN⊥平面A₁ACC₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由平面ABC∥平面A₁B₁C₁可推出MN∥A₁B₁；进而得MN∥AB，N为AC中点．（2）证明A₁N⊥AC，AB⊥AC；进而证明AC⊥平面A₁B₁MN，从而得到平面A₁B₁MN⊥平面A₁ACC₁．

解答： 证明：（1）由题意，平面ABC∥平面A₁B₁C₁，
又∵平面A₁B₁M与平面ABC交于直线MN，与平面A₁B₁C₁交于直线A₁B₁，
∴MN∥A₁B₁．
∵AB∥A₁B₁，∴MN∥AB，∴

CN

AN

=

CM

BM

．
∵M为AB的中点，∴

CN

AN

=1，
∴N为AC中点．
（2）∵四边形A₁ACC₁是边长为2的菱形，∠A₁AC=60°．
在三角形A₁AN中，AN=1，AA₁=2，
由余弦定理得A₁N=

3

，
故A₁A²=AN²+A₁N²，
∴∠A₁NA=90°，即A₁N⊥AC．
在三角形ABC中，AB=2，AC=2

3

，BC=4，
则BC²=AB²+AC²，
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC．
又∵MN∥AB，则AC⊥MN．
∵MN∩A₁N=N，MN?面A₁B₁MN，A₁N?面A₁B₁MN，
∴AC⊥平面A₁B₁MN．
又∵AC?平面A₁ACC₁，
∴平面A₁B₁MN⊥平面A₁ACC₁．

点评：本题考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，综合考查空间想象及逻辑推理能力．立体几何中线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理要适当关注，不成为重点，但也不要成为盲点．关注以算代证的方法．