Question

已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2，Q是l上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交l于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值．求∠MAN的度数．

Answer 1

考点：圆的切线方程,圆方程的综合应用

专题：综合题,直线与圆

分析：先建立平面直角坐标系，设出点Q，点A，点M，点N的坐标，用余弦定理表示∠MAN的值，然后化简．

解答： 解：以l为x轴，点P到l的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为（x，0），点A（k，λ），⊙Q的半径为r，则：M（x-r，0），N（x+r，0），P（2，0），PQ=

x2+4

=1+r．所以x=±

r2+2r-3

，
∴tan∠MAN=

kAN-kAM

1+kANkAM

=

2rh

h2+k2-3+2r±2k r2+2r-3

，
令2m=h²+k²-3，tan∠MAN=

1

n

，所以m+r±k

r2+2r-3

=nhr，∴m+（1-nh）r=±k

r2+2r-3

，
两边平方，得：m²+2m（1-nh）r-（1-nh）²r²=k²r²+2k²r-3k²，
因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以

m2=-3k2(1) 2m(1-nh)=2k2(2) (1-nh)2=k2(3)

，
由（1）（2）式，得m=0，k=0，由（3）式，得n=

1

h

．
由2m=h²+k²-3得h=±

3

，所以tan∠MAN=

1

n

=h=±

3

．
所以∠MAN=60°或120°（舍）（当Q（0，0），r=1时∠MAN=60°），故∠MAN=60°．

点评：本题主要考查坐标法解决实际问题，圆与圆的位置关系，两点间距离公式，解三角形，恒成立问题等知识的综合应用，属于难题．