Question

已知函数f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）
（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程；
（2）当0≤a≤1时，试讨论f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，再求出f'（2）的值，也就是切线的斜率，问题得以解决．
（2）分①a=0时，②0＜a＜

1

2

时，③a=

1

2

时，④

1

2

＜a＜1时，⑤a=1时进行讨论．

解答： 解：（1）当a=-1时y=lnx+x+

2

x

-1(x＞0)，
∴y′=

1

x

+1-

2

x2

，
∵f'（2）=1，
∴切线方程：y=x+ln2，
（2）y′=-

(x-1)(ax+a-1)

x2

（x＞0）
①a=0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
②0＜a＜

1

2

时，f（x）在（0，1）单调递减，(1，

1-a

a

)单调递增，在(

1-a

a

，+∞)单调递减；
③a=

1

2

时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
④

1

2

＜a＜1时，f（x）在(0，

1-a

a

)单调递减，在(

1-a

a

，1)单调递增，在（1，+∞）单调递减；
⑤a=1时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减；

点评：本题主要考查了导数与切线方程的问题以及函数的单调性的问题，关键是分类讨论的问题．属于较基础题．