Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，过焦点F₁的倾斜角为30°直线交椭圆于A、B两点，弦长|AB|=8，若三角形ABF₂的内切圆的面积为π，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  3

  6

• C、

  1

  2

• D、

  3

  3

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由等面积可得

1

2

×8×c=

1

2

×4a×1，即可求出椭圆的离心率．

解答： 解：直线AB的方程为y=

3

3

（x+c），即x-

3

y+c=0，
F₂到直线AB的距离d=

2c

2

=c，三角形ABF₂的内切圆的面积为π，则半径为1，
∴由等面积可得

1

2

×8×c=

1

2

×4a×1，
∴e=

c

a

=

1

2

故选：C．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆性质．