Question

已知椭圆C：

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F₁，F₂，P，Q是椭圆C上的两点．
（Ⅰ）若椭圆C过点（-

2

，1），求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若以P，F₁，Q，F₂为顶点的四边形是正方形，求b²的值；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若直线PQ过F₁，且|PF₁|=2|QF₁|，求|PQ|．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）由于椭圆C过点（-

2

，1），代入椭圆的方程即可解得b²．
（II）由于以P，F₁，Q，F₂为顶点的四边形是正方形，可得P，Q是椭圆的短轴的两个端点，因此b=c=

2

2

a即可得出．
（III）由（I）可得椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．F₁(-

2

，0)．设直线PQ的方程为：x=my-

2

，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，利用|PF₁|=2|QF₁|，可得

PF1

=2

F1Q

，即-y₁=2y₂．
联立解得m2=

2

7

．再利用弦长公式即可得出．

解答： 解：（I）由于椭圆C过点（-

2

，1），代入椭圆的方程可得：

(- 2 )2

4

+

1

b2

=1，解得b²=2．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（II）∵以P，F₁，Q，F₂为顶点的四边形是正方形，
∴P，Q是椭圆的短轴的两个端点，∴b=c=

2

2

a=

2

．
∴b²=2．
（III）由（I）可得椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．F₁(-

2

，0)．
设直线PQ的方程为：x=my-

2

，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立

x=my- 2 x2+2y2=4

，化为(2+m2)y2-2

2

my-2=0．
∴y₁+y₂=

2 2 m

2+m2

，y1y2=

-2

2+m2

．（*）
∵|PF₁|=2|QF₁|，
∴

PF1

=2

F1Q

，∴-y₁=2y₂．
与（*）联立解得m2=

2

7

．
∴|PQ|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+ 2 7 )[ 8× 2 7 ( 16 7 )2 -4× -2 2+ 2 7 ]

=

15 7

28

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．