Question

如图，三棱锥V-ABC中，△VAB是边长为2的正三角形，点V在平面ABC上的射影D在AB边上，△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求证：面VAB⊥面VBC；
（Ⅱ）求二面角B-VA-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得面VAB⊥面ABC，BC⊥面VAB，由此能证明面VAB⊥面VBC．
（Ⅱ）过B作BE⊥VA于E，连结CE，∠CEB是二面角B-VA-C的平面角，由此能求出二面角B-VA-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵VD⊥平面ABC，VD?平面VAB，
∴面VAB⊥面ABC，交线为AB，
∵BC⊥AB，∴BC⊥面VAB，
又BC?平面VAB，
∴面VAB⊥面VBC．
（Ⅱ）解：过B作BE⊥VA于E，连结CE，
由（Ⅰ）知，VA⊥CE，
∴∠CEB是二面角B-VA-C的平面角，
∵AB=2，△VAB是正三角形，
∴BE=

3

，又BC=AB=2，
∴tan∠CEB=

2 3

3

，
∴cos∠CED=

21

7

．
∴二面角B-VA-C的余弦值是

21

7

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．