Question

已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（0，2），B（1，1），C（1，3）．若△ABC在一个切变变换T作用下变为△A₁B₁C₁，其中B（1，1）在变换T作用下变为点B₁（1，-1）．
（1）求切变变换T所对应的矩阵M；
（2）将△A₁B₁C₁绕原点O按顺时针方向旋转30°后得到△A₂B₂C₂．求△A₂B₂C₂的面积．

Answer 1

考点：变换、矩阵的相等

专题：计算题

分析：（1）设M=

1 c b 1

，由B（1，1）在变换T作用下变为点B₁（1，-1）可得：

1 c b 1

•

1 1

=

1 -1

，即

1+c=1 b+1=-1

，解得矩阵M；
（2）将△A₁B₁C₁绕原点O按顺时针方向旋转30°后得到△A₂B₂C₂．根据旋转变换不改变图形的形状，可得变换前后三角形面积不变，进而得到答案．

解答： 解：（1）设M=

1 c b 1

，
∵B（1，1）在变换T作用下变为点B₁（1，-1）．
∴

1 c b 1

•

1 1

=

1 -1

，
即

1+c=1 b+1=-1

，
解得：b=-2，c=0，
∴M=

1 0 -2 1

…（4分）
（2）因为△ABC在变换T作用下变为△A₁B₁C₁，
三个顶点的坐标分别是（0，2），（1，-1）和（1，1），其面积为1．
而旋转变换不改变图形的形状，所以其面积不变，依然为1．
所以，△△A₂B₂C₂的面积为1．…（10分）

点评：本题考查变换与矩阵的相等，着重考查了矩阵的乘法法则和矩阵变换的含义等知识，属于较基础题．