Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，已知

m

=（sinB，2cosB），

n

=（cosB，sin²（

π

4

-

B

2

），

m

•

n

=

3

5

．
（1）求cosB的值；
（2）若2b=a+c，

BA

•

BC

=9，求b的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（1）在△ABC中，由条件根据两个向量的数量积、三角恒等变换化简可得

m

•

n

=cosB=

3

5

，从而得出结论．
（2）由2b=a+c，

BA

•

BC

=9，可得ac•cosB=

3

5

ac=9，求得ac=15，再由余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-2ac-18，从而求得b的值．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵

m

•

n

=sinBcosB+2cosBsin²（

π

4

-

B

2

）=sinBcosB+2cosB•

1-cos( π 2 -B)

2

=sinBcosB+2cosB•

1-sinB

2

=

1

2

sin2B+cosB-

1

2

sin2B=cosB=

3

5

，
即 cosB=

3

5

．
（2）若2b=a+c，

BA

•

BC

=9，则有 ac•cosB=

3

5

ac=9，∴ac=15，
故由余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-2ac-18=4b²-30-18=4b²-48，
求得b=4．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角恒等变换，余弦定理的应用，属于基础题．