Question

如图1，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E，F分别为边AB，AD的中点．现将△ADE沿DE折起，得四棱锥A-BCDE（如图2）．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）取线段AC的中点M，连结MF、MB，可证明EF∥BM，从而证明EF∥平面ABC；（2）CE为三棱锥C-EFD的高．进而求四面体FDCE的体积．

解答： 解：（1）证明：取线段AC的中点M，连结MF、MB．
∵F为AD的中点，
∴MF∥CD，且MF=

1

2

CD．
在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，
∴BE∥CD，且BE=

1

2

CD．
∴MF∥BE，且MF=BE．
∴四边形BEFM为平行四边形，
∴EF∥BM．又EF?平面ABC，BM?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．   
（2）在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD=2，AB=4，E为AB的中点，
∴△ADE、△CBE都是等腰直角三角形，且AD=AE=EB=BC=2．
∴∠DEA=∠CEB=45°，且DE=EC=2

2

．
又∵∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°，
∴∠DEC=90°．
又∵平面ADE⊥平面BCDE，
平面ADE∩平面BCDE=DE，CE?平面BCDE，
∴CE⊥平面ADE，即CE为三棱锥C-EFD的高．
∵F为AD的中点，
∴S_△EFD=

1

2

×

1

2

×AD•AE=

1

4

×2×2=1．
∴四面体FDCE的体积V=

1

3

×S_△EFD•CE=

1

3

×1×2

2

=

2 2

3

．

点评：本题需要分析作出辅助线，构造平行，注意一条在平面内，另一条在平面外，用线面平行判定定理证明线面平行，求体积要选择底面，同时兼顾高，以达到简化运算的目的．