Question

如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴上移动，则

OB

•

OC

≥1+

3

2

的概率为

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：综合题,概率与统计

分析：设∠OAD=θ，0＜θ＜

π

2

．可得x_B=2cosθ+2sinθ，y_B=2cosθ，x_C=2sinθ，y_C=2sinθ+2cosθ．再利用数量积运算、同角三角函数基本关系式、倍角公式、正弦函数的单调性有界性得出4＜

OB

•

OC

≤8，即可求出概率．

解答： 解：设∠OAD=θ，0＜θ＜

π

2

．
则x_B=cosθ+sinθ，y_B=cosθ，x_C=sinθ，y_C=sinθ+cosθ．
∴B（cosθ+sinθ，cosθ），C（sinθ，sinθ+cosθ），
∴

OB

•

OC

=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，sinθ+cosθ）
=（cosθ+sinθ）×sinθ+cosθ（sinθ+cosθ）
=sinθcosθ+sin²θ+sinθcosθ+cos²θ
=sin2θ+1．
∵0＜θ＜

π

2

，
∴0＜2θ＜π，
∴0＜sin2θ≤1．
∴1＜sin2θ+1≤2．
∴1＜

OB

•

OC

≤2，
∵

OB

•

OC

≥1+

3

2

，
∴

OB

•

OC

≥1+

3

2

的概率为

3

2

-1．
故答案为：

3

2

-1．

点评：本题综合考查了数量积运算、同角三角函数基本关系式、倍角公式、正弦函数的单调性有界性，考查了计算能力，属于中档题．