Question

设

a

是已知的平面向量，向量

a

，

b

，

c

在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题：
①给定向量

b

，总存在向量

c

，使

a

=

b

+

c

；
②给定向量

b

和

c

，总存在实数λ和μ，使

a

=λ

b

+μ

c

；
③给定单位向量

b

和正数μ，总存在单位向量

c

和实数λ，使

a

=λ

b

+μ

c

；
④若|

a

|=2，存在单位向量

b

、

c

和正实数λ，μ，使

a

=λ

b

+μ

c

，则3^λ+3^μ≥6
其中真命题是

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④利用基本不等式加以判断即可．

解答： 解：选项①，给定向量

a

和

b

，只需求得其向量差

a

-

b

即为所求的向量

c

，故总存在向量

c

，使

a

=

b

+

c

，故①正确；
选项②，当向量

b

，

c

和

a

在同一平面内且两两不共线时，向量

b

，

c

，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；
选项③，取

a

=（4，4），μ=2，

b

=（1，0），无论λ取何值，向量λ

b

都平行于x轴，而向量μ

c

的模恒等于2，要使

a

=λ

b

+μ

c

成立，根据平行四边形法则，向量μ

c

的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量

c

使等式成立，故③错误；
选项④，∵|

a

|²=（λ

b

+μ

c

）²=λ2+μ2+2λμcos＜

b

，

c

＞=4，∴（λ+μ）²≥4，即λ+μ≥2，3^λ+3^μ≥2

3λ•3μ

=2

3λ+μ

≥2×3=6．故可知④正确；
故答案为：①②④

点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．