Question

如图四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P-CD-B为45°
（1）求证：①AF∥平面PEC   
②平面PEC⊥平面PCD
（2）设AD=2，CD=2

2

，求③点A到平面PEC的距离④二面角A-EF-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）①以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，根据AF的方向向量与平面PEC共面，可得AF∥平面PEC；
②根据平面PEC和平面PCD的法向量垂直，可得：平面PEC⊥平面PCD；
（2）③根据②中平面PEC的法向量，和向量

AP

的坐标，代入点平面距离公式，可得点A到平面PEC的距离；
④求出平面AEF和平面CEF的法向量，代入向量加角公式，可得二面角A-EF-C的余弦值．

解答： 证明：（1）①∵CD⊥AD，CD⊥AP，AD，AP?面PAD，AD∩AP=A，
∴CD⊥面PAD，
∴∠PDA为P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°，
∴PA=AD，
记AD=a，AB=b，以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则A(0，0，0)，B(b，0，0)，C(b，a，0)，D(0，a，0)，P(0，0，a)，E(

b

2

，0，0)，F(0，

a

2

，

b

2

)
则

AF

=(0，

a

2

，

a

2

)，

EP

=(-

b

2

，0，a)，

EC

=(

b

2

，a，0)
则

AF

=

1

2

EP

+

1

2

EC

，
∴

AF

与面PEC共面，
∴AF∥面PEC…（4分）
②由

EP

=(-

b

2

，0，a)，

EC

=(

b

2

，a，0)可求平面EPC的一个法向量

n

=(a，-

b

2

，

b

2

)
同理可求平面PCD的一法向量为

m

=(0，

a

2

，

a

2

)，
∴

n

•

m

=0，即

n

⊥

m

所以平面PEC⊥平面PCD…（4分）
（2）③可知平面PEC的法向量为

n

=(2，-

2

，

2

)且

AP

=(0，0，2)
所以A到平面PEC的距离d=

| AP • n |

| n |

=1…（3分）
④由

AE

=(

2

，0，0)，

AF

=(0，1，1)，可求平面AEF的一法向量

p

=(0，1，-1)
由

CE

=(-

2

，-2，0)，

CF

=(-2

2

，-1，1)，可求平面CEF的一法向量

q

=(

2

，-1，3)
则cos＜

p

，

q

＞=-

6

3

，此时二面角A-EF-C的平面角θ=π-＜

p

，

q

＞
所以所求值为cosθ=

6

3

…（4分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，其中建立空间坐标系，把空间线面夹角及距离问题，转化为向量夹角和模的问题，是解答的关键．