Question

已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是2，其图象经过点M（，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若tanα=3，且函数g（x）=f（x+α）+f（x+α-）（x∈R）的图象关于直线x=x₀对称，求tanx₀的值．

Answer 1

解：（1）∵函f（x）的最大值是2，
∴A=2，又函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的图象经过点M（，1），
∴2sin（）=1，
即sin（）=，
∵0＜φ＜π，
∴，
∴f（x）=2sin（x+）=2cosx…（5分）
（2）g（x）=f（x+α）+f（x+α-）
=2cos（x+α）+2cos（x+α-）
=2cos（x+α）+2sin（x+α）
=2sin（x+α+），
∵其图象关于直x=x₀对称，
∴sin（x₀+α+）=±1，
∴x₀+α+=kπ+（k∈Z），即 x₀=kπ-α+，（k∈Z），
又∵tanα=3，
∴tanx₀=tan（kπ-α+）=tan（-α）=…（14分）
分析：（1）根据最大值为2，确定A=2，根据过M，求出φ，进而确定f（x）的解析式．
（2）写出g（x）的解析式，根据其图象关于直线x=x₀对称，求出x₀，进而求出tanx₀即可．
点评：本题考查了由三角函数图象确定函数解析式以及性质，是基础题．