Question

【题目】定义在上的函数满足，且.当时， .

（1）求在上的解析式；

（2）证明在上是减函数；

（3）当取何值时，方程在上有解.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3），或，或.

【解析】试题分析：（1）设，则结合f（-x）=-f（x），及x∈（0，1）时， ，，可求x∈（-1，0）时得f（x），在f（-x）=-f（x）中可求f（0）=0
（2）利用函数的单调性的定义证明即可．
（3）方程在上有解的充要条件是， 在函数， 的值域内取值，只需求出函数的值域，然后求解k的范围．

试题解析：

（1）设，则.

∵，且时， ，

∴时，有.

在中，令得

.

∵， ，令，

得，

∴，从而，

∴当时，有

.

（2）设，则，

.

∵，∴，

∴，且，

∴， .

又∵，

∴，

即，∴在上是减函数.

（3）方程在上有解的充要条件是， 在函数， 的值域内取值.

∵时， 是减函数，

∴时， ，

即.

∵，∴时，

.

又，

∴时，函数的值域为.

∴当，或，或时，方程在上有解.