Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，且PA=PB=PC=PD，MB=2AM，CN=2PN
（1）求证：MN∥面PAD
（2）求证：BD⊥PC．

Answer 1

分析 （1）作NQ∥CD，交PD于Q，连接AQ，证明：四边形AMNQ为平行四边形，可得MN∥AQ，即可证明MN∥面PAD；
（2）连接AC，与BD交于H，连接PH，证明：BD⊥平面PAC，即可证明BD⊥PC．

解答 证明：（1）作NQ∥CD，交PD于Q，连接AQ，
∵CN=2PN，∴NQ=$\frac{1}{3}$CD，
∵AM=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{1}{3}CD$，AB∥CD，
∴AM∥NQ，AM=NQ，
∴四边形AMNQ为平行四边形，
∴MN∥AQ，
∵MN?平面PAD，QA?平面PAD，
∴MN∥面PAD
（2）连接AC，与BD交于H，

∵ABCD为正方形，
∴H为AC，BD的中点，AC⊥BD，
连接PH，
∵PB=PD，
∴PH⊥BD，
∵AC⊥BD，AC∩PH=H，
∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
∴BD⊥PC．

点评 本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．