Question

7．已知函数f（x）=x+e^x-a，$g（x）=\frac{1}{2}1n（2x+1）-4{e^{a-x}}$，其中e为自然对数的底数，若存在实数x₀，使f（x₀）-g（x₀）=4成立，则实数a的值为（　　）

• A． n2-1
• B． 1-1n2
• C． 1n2
• D． -1n2

Answer 1

分析 求出f（x）-g（x）的解析式，令$h（x）=x-\frac{1}{2}ln（2x+1）$，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，结合不等式的性质求出对应的a的值即可．

解答 解：f（x）-g（x）=$x-\frac{1}{2}ln（2x+1）+{e^{x-a}}+4{e^{a-x}}$，
令$h（x）=x-\frac{1}{2}ln（2x+1）$，则$h'（x）=1-\frac{1}{2x+1}$，
知h（x）在$（-\frac{1}{2}，0）$上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，所以h（x）_min=h（0）=0，
又${e^{x-a}}+4{e^{a-x}}≥2\sqrt{{e^{x-a}}•4{e^{a-x}}}=4$
所以f（x）-g（x）≥4，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}x=0\\{e^{x-a}}=4{e^{a-x}}\end{array}\right.$即x=0，a=-ln2，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的性质，是一道中档题．