Question

10．数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1-a_n=n+1，n∈N^*，则数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n项和S_n=$\frac{2n}{n+1}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1-a_n=n+1，n∈N^*，利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁与等差数列的求和公式可得a_n，再利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1-a_n=n+1，n∈N^*，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+…+2+1
=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n项和S_n=2$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了累加求和方法、“裂项求和”方法、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．