Question

20．已知F₁（-1，0），F₂（1，0）分别是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}$=1（a＞0）的左、右焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若A，B分别在直线x=-2和x=2上，且AF₁⊥BF₁．
（ⅰ） 当△ABF₁为等腰三角形时，求△ABF₁的面积；
（ⅱ） 求点F₁，F₂到直线AB距离之和的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知a²-3=1，即可求得a的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）（ⅰ）根据向量数量积的坐标运算，即可求得mn=3，由|AF₁|=|BF₁|，求得m²-n²=8，即可求得m和n的值，求得三角形的面积；
（ⅱ）直线$AB：y=\frac{n-m}{4}（x+2）+m$，利用点到直线的距离公式，由点F₁，F₂在直线AB的同一侧，利用基本不等式的性质，即可求得点F₁，F₂到直线AB距离之和的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得，c=1，则a²-b²=c²，即a²-3=1，
则a²=4，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）（ⅰ）由题意可设A（-2，m），B（2，n），
由AF₁⊥BF₁，则$\overrightarrow{A{F_1}}•\overrightarrow{B{F_1}}=0$，即（1，-m）（-3，-n）=0，则mn=3，①
由AF₁⊥BF₁，则当△ABF₁为等腰三角形时，只能是|AF₁|=|BF₁|，即$\sqrt{{m^2}+1}=\sqrt{9+{n^2}}$，
化简得m²-n²=8，②
由①②可得$\left\{{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=1}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=-1}\end{array}}\right.$，
∴${S_{△AB{F_1}}}=\frac{1}{2}|A{F_1}||B{F_1}|=\frac{1}{2}{\sqrt{10}^2}=5$．
（ⅱ）直线$AB：y=\frac{n-m}{4}（x+2）+m$，
化简得（n-m）x-4y+2（m+n）=0，
由点到直线的距离公式可得点F₁，F₂到直线AB距离之和为
${d_1}+{d_2}=\frac{|2（m+n）-（n-m）|}{{\sqrt{{{（n-m）}^2}+16}}}+\frac{|2（m+n）+（n-m）|}{{\sqrt{{{（n-m）}^2}+16}}}$
∵点F₁，F₂在直线AB的同一侧，
∴${d_1}+{d_2}=\frac{4|m+n|}{{\sqrt{{{（n-m）}^2}+16}}}=4\sqrt{\frac{{{m^2}+{n^2}+2mn}}{{{m^2}+{n^2}-2mn+16}}}$
由mn=3，
则m²+n²≥2mn=6，${d_1}+{d_2}=4\sqrt{\frac{{{m^2}+{n^2}+6}}{{{m^2}+{n^2}+10}}}=4\sqrt{1-\frac{4}{{{m^2}+{n^2}+10}}}$
∴${d_1}+{d_2}=4\sqrt{1-\frac{4}{{{m^2}+{n^2}+10}}}≥2\sqrt{3}$
当$m=n=\sqrt{3}$或$m=n=-\sqrt{3}$时，点F₁，F₂到直线AB距离之和取得最小值$2\sqrt{3}$．
∴点F₁，F₂到直线AB距离之和取得最小值$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．