Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的任意一点P（x₀，y₀）（左、右顶点A，B除外）与两焦点F₁（-2，0），F₂（2，0）围成的三角形的周长恒为12．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点Q（x，y）到点F₂与到K（8，0）距离之比为

1

2

，求点Q的轨迹E的方程；
（3）设直线PB，QB的斜率分别为k₁，k₂，且4k₁=3k₂，证明：A，P，Q三点共线．

Answer 1

考点：轨迹方程,三点共线,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意结合椭圆定义得到2a+2c=12，从而求出a，再结合c=2求得b，则椭圆方程可求；
（2）直接由动点Q（x，y）到点F₂与到K（8，0）距离之比为

1

2

列式求点Q的轨迹E的方程；
（3）设P（x₀，y₀），写出PA和PB的斜率，结合P在椭圆上及4k₁=3k₂得到k_PA•k₂=-1，由（2）知点Q在圆x²+y²=16上，由此可得k_QA•k₂=-1，从而得到PA和QA所在直线的斜率相等，再由两直线有公共点A，可得A，P，Q三点共线．

解答： （1）解：由椭圆C的焦点为F₁（-2，0）得c=2，
又由椭圆的定义得△PF₁F₂的周长为2a+2c=12，
解得a=4，c=2，
∴b²=a²-c²=12，
即所求椭圆的方程为

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）解：由题意得

|QF2|

|QK|

=

1

2

，
∵|QF2|=

(x-2)2+y2

，|QK|=

(x-8)2+y2

，
∴

(x-2)2+y2

(x-8)2+y2

=

1

2

，化简得：x²+y²=16，
经检验得轨迹E的方程为x²+y²=16；
（3）证明：由（1）知A（-4，0），B（4，0），
设P（x₀，y₀），
则kPA•k1=

y0

x0+4

•

y0

x0-4

=

y02

x02-16

，
∵点P（x₀，y₀）在椭圆C上，
∴

x02

16

+

y02

12

=1，即y02=12-

3

4

x02，
∴kPA•k1=

12- 3 4 x02

x02-16

=-

3

4

，
∴kPA=-

3

4k1

，
又∵4k₁=3k₂，
∴k_PA•k₂=-1，
由（2）知点Q在圆x²+y²=16上，
∴k_QA•k₂=-1，
∴k_PA=k_QA，
又直线PA，QA有共同点A，
∴A，P，Q三点共线．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查了曲线轨迹方程的求法，训练了平面内三点共线的证明方法，体现了整体运算思想方法，是压轴题．