Question

如图，已知椭圆C：

x2

4

+y²=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆上，且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=-2分别交于点M、N，
（ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁•k₂为定值；
（ⅱ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（ⅰ）由椭圆方程求出两个顶点A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线AP、BP的斜率k₁，k₂，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；
（ⅱ）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，由

QM

 • 

QN

=0列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标．

解答： （ⅰ）证明：由题设椭圆C：：

x2

4

+y²=1可知，点A（0，1），B（0，-1）．
令P（x₀，y₀），则由题设可知x₀≠0．
∴直线AP的斜率k₁=

y0-1

x0

，PB的斜率为k₂=

y0+1

x0

．
又点P在椭圆上，∴

x02

4

+y₀²=1（x₀≠1）
从而有k₁•k₂=

y0-1

x0

•

y0+1

x0

=-

1

4

；
（ⅱ）解：以MN为直径的圆恒过定点（0，-2+2

3

）或（0，-2-2

3

）．
事实上，设点Q（x，y）是以MN为直径圆上的任意一点，则

QM

 • 

QN

=0，
故有(x+

3

k1

)(x+

1

k2

)+（y+2）（y+2）=0．
又k₁•k₂=-

1

4

∴以MN为直径圆的方程为x²+（y+2）²-12+(

3

k1

-4k1)x=0．
令x=0，则（y+2）²=12，解得y=-2±2

3

．
∴以MN为直径的圆恒过定点（0，-2+2

3

）或（0，-2-2

3

）．

点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．