Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（Ⅰ）求角A的大小
（Ⅱ）求函数f（x）=cos2x-4cosAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）△ABC中，由条件利用正弦定理求得 b²+c²-a²=-bc．再由余弦定理求得cosA=

b2+c2-a2

2bc

的值，可得A的值．
（Ⅱ）利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=-2(sinx-

1

2

)2+

3

2

，再利用二次函数的性质求得函数f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，
利用正弦定理可得 2a²=2b²+bc+2c²+bc，即 b²+c²-a²=-bc．
再由余弦定理可得 cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，∴A=

2π

3

．
（Ⅱ）函数f（x）=cos2x-4cosAsinx=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2(sinx-

1

2

)2+

3

2

，
故当sinx=

1

2

时，函数f（x）取得最大值为

3

2

，当sinx=

1

2

=-1时，函数f（x）取得最小值为-3，
故函数f（x）的值域为[-3，

3

2

]．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理、正弦函数的值域、二倍角公式、二次函数的性质，属于中档题．