Question

18．已知：sin（α+$\frac{π}{4}$）+2sin（α-$\frac{π}{4}$）=0．
（1）求tanα的值；
（2）若tan（$\frac{π}{4}$-β）=$\frac{1}{3}$，求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的正弦公式展开得到；
（2）由（1）得到tan（$α+\frac{π}{4}$），tan（α+β）=tan[（α+$\frac{π}{4}$）-（$\frac{π}{4}$-β）]，利用两角差的正切公式得到所求．

解答 解：（1）sin（α+$\frac{π}{4}$）+2sin（α-$\frac{π}{4}$）=0．
展开整理得，$\frac{3\sqrt{2}}{2}sinα-\frac{\sqrt{2}}{2}cosα=0$，所以tanα=$\frac{1}{3}$；
（2）由（1）得到tan（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα+1}{1-tanα}$=2，又tan（$\frac{π}{4}$-β）=$\frac{1}{3}$，
所以tan（α+β）=tan[（α+$\frac{π}{4}$）-（$\frac{π}{4}$-β）]=$\frac{tan（α+\frac{π}{4}）-tan（\frac{π}{4}-β）}{1+tan（α+\frac{π}{4}）tan（\frac{π}{4}-β）}$=$\frac{2-\frac{1}{3}}{1+\frac{2}{3}}$=1．

点评 本题考查了三角函数式的化简求值；熟练运用两角和与差的正切公式是解答的关键．