Question

13．已知实数a，b满足a²+4b²=4．
（1）求证：a$\sqrt{1+{b}^{2}}$≤2；
（2）若对任意a，b∈R，．|x+1|-|x-3|≤ab恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式证明；
（2）利用基本不等式求出ab的最小值，得出|x+1|-|x-3|≤-1，再讨论x的范围解出x．

解答 证明：（1）a$\sqrt{1+{b}^{2}}$≤|a|$\sqrt{1+{b}^{2}}$≤$\frac{|a|\sqrt{4+4{b}^{2}}}{2}$≤$\frac{{a}^{2}+4+4{b}^{2}}{4}$=2．
当且仅当a＞0且a²=4+4b²时取等号．
（2）∵a²+4b²=4≥2$\sqrt{4{a}^{2}{b}^{2}}$=4|ab|，
∴|ab|≤1，∴ab≤-1恒成立．
∵对任意a，b∈R，|x+1|-|x-3|≤ab恒成立，
∴|x+1|-|x-3|≤-1恒成立．
若x≤-1，则不等式为-x-1-（3-x）≤-1，不等式恒成立；
若-1＜x＜3，不等式为x+1-（3-x）≤-1，解得-1＜x$≤\frac{1}{2}$，
若x≥3，不等式为x+1-（x-3）≤-1，不等式无解．
综上，x的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查 了不等式的证明，绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．