Question

16．在平面直角坐标系中，定义$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n+1}={x}_{n}-{y}_{n}}\\{{y}_{n+1}={x}_{n}+{y}_{n}}\end{array}\right.$，（n∈N^*） 为点P_n（x_n，y_n）到点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一个变换，我们把它称为点变换，已知P₁（1，0），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…是经过点变换得到的一无穷点列，则P₃的坐标为（0，2）；设a_n=$\overrightarrow{{P}_{n}{P}_{n+1}•}$$\overrightarrow{{P}_{n+1}{P}_{n+2}}$，则满足a₁+a₂+…+a_n＞1000的最小正整数n=10．

Answer 1

分析 根据条件即可求得点P₁，P₂到P₇的坐标，从而可以求出向量$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}，\overrightarrow{{P}_{2}{P}_{3}}，…，\overrightarrow{{P}_{6}{P}_{7}}$的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可求出a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=8，a₅=16，从而便可看出数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可求出前n项和为2ⁿ-1，从而可以得到2ⁿ＞1001，这样便可判断出最小正整数n的值．

解答 解：由条件得，P₁（1，0），P₂（1，1），P₃（0，2），P₄（-2，2），P₅（-4，0），P₆（-4，-4），P₇（0，-8）…；
∴${a}_{1}=\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}•\overrightarrow{{P}_{2}{P}_{3}}=（0，1）•（-1，1）=1$，${a}_{2}=\overrightarrow{{P}_{2}{P}_{3}}•\overrightarrow{{P}_{3}{P}_{4}}=（-1，1）•（-2，0）=2$，${a}_{3}=\overrightarrow{{P}_{3}{P}_{4}}•\overrightarrow{{P}_{4}{P}_{5}}=（-2，0）•（-2，-2）=4$，${a}_{4}=\overrightarrow{{P}_{4}{P}_{5}}•\overrightarrow{{P}_{5}{P}_{6}}=（-2，-2）•（0，-4）=8$，${a}_{5}=\overrightarrow{{P}_{5}{P}_{6}}•\overrightarrow{{P}_{6}{P}_{7}}=（0，-4）•（4，-4）=16$；
∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列；
∴${a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}=\frac{1•（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n}-1$；
∴由a₁+a₂+…+a_n＞1000得，2ⁿ-1＞1000；
∴2ⁿ＞1001；
∵2⁹=512，2¹⁰=1024；
∴满足a₁+a₂+…+a_n＞1000的最小正整数n=10．
故答案为：（0，2），10．

点评 考查对点变换的理解，能够根据P₁点的坐标求出P₂，P₃，P₄，…点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算，等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式，估算的方法．