Question

15．已知共面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=3，$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=2$\overrightarrow{a}$，且|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|．若对每一个确定的向量$\overrightarrow{b}$，记|$\overrightarrow{b}$-t$\overrightarrow{a}$|（t∈R）的最小值d_min，则当$\overrightarrow{b}$变化时，d_min的最大值为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． 2
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 根据向量的平行四边形法则和三角形的面积公式以及平行四边形的性质可得b²+2c²=36，即可得到d=$\frac{1}{4}$c$\sqrt{16-{c}^{2}}$，利用基本不等式即可求出最值．

解答 解：如图，设$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，
∵$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=2$\overrightarrow{a}$，
∴M为BD的中点，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$•3d•2=3d，
∵|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|，
∴AD=BD，
设AB=c，AD=b，
∴在?ABCD中，2[（AB）²+（AC）²]=AC²+BD²，
∴b²+2c²=36，①，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$•c•$\sqrt{{b}^{2}-（\frac{c}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$•c•$\sqrt{{b}^{2}-\frac{{c}^{2}}{4}}$，
将①代入可得，S_△ABD=$\frac{1}{2}$•c•$\sqrt{36-\frac{9{c}^{2}}{4}}$=$\frac{3}{4}$c$\sqrt{16-{c}^{2}}$，
∴3d=$\frac{3}{4}$c$\sqrt{16-{c}^{2}}$，
∴d=$\frac{1}{4}$c$\sqrt{16-{c}^{2}}$≤$\frac{1}{4}$$\sqrt{（\frac{16}{2}）^{2}}$=2，当且仅当c²=8时，取等号，
故选：B．

点评 本题考查了向量的在几何中的应用，考查了学生的转化能力和计算能力，属于难题