Question

20．若a，b∈R，则“$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$”是“$\frac{ab}{{a}^{3}-{b}^{3}}$＞0”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充分必要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 ?a，b∈R，a²+ab+b²=$（a+\frac{1}{2}b）^{2}$+$\frac{3}{4}$b²≥0，当且仅当a=b=0时取等号．可得$\frac{ab}{{a}^{3}-{b}^{3}}$＞0?（a-b）ab＞0，?“$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$”．

解答 解：?a，b∈R，a²+ab+b²=$（a+\frac{1}{2}b）^{2}$+$\frac{3}{4}$b²≥0，当且仅当a=b=0时取等号．
∴$\frac{ab}{{a}^{3}-{b}^{3}}$＞0?（a-b）ab＞0，?“$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$”．
∴“$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$”是“$\frac{ab}{{a}^{3}-{b}^{3}}$＞0”的充要条件．
故选：C．

点评 本题考查了函数的性质、不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．