Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=4n，若不等式S_n+8≥λn对任意的n∈N^*都成立，则实数λ的取值范围为（-∞，10]．

Answer 1

分析 先根据a_n=4n得到数列{a_n}是以4为首项，以4为公差的等差数列，再根据等差数列的求和公式得到S_n=2n+2n²，原不等式转化为λ≤2（n+$\frac{4}{n}$）+2，根据基本不等式即可求出答案．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=4n，
当n=1时，a₁=4，
∵a_n-a_n-1=4n-4（n-1）=4，
∴数列{a_n}是以4为首项，以4为公差的等差数列，
∴S_n=$\frac{n（4+4n）}{2}$=2n+2n²，
∵不等式S_n+8≥λn对任意的n∈N^*都成立，
∴2n+2n²+8≥λn对任意的n∈N^*都成立，
即λ≤2（n+$\frac{4}{n}$）+2，
∵n+$\frac{4}{n}$≥2$\sqrt{n•\frac{4}{n}}$=4，当且仅当n=2时取等号，
∴λ≤2×4+2=10，
故实数λ的取值范围为（-∞，10]，
故答案为：（-∞，10]．

点评 本题考查了等差数列的定义和等差数列的求和公式和不等式恒成立问题，以及基本不等式的应用，属于中档题．